こちらのサイトで、会うまではいってはいないのですが、毎日数回のやり取りをし、1週間ほど経ち、仲良くなりつつある女性がいらっしゃいます。
一昨日、私は○○(フルネーム)ですが、○○(私のニックネーム)さんの名前はなんですか？と聞かれました。

実は、私は会社を経営しておりまして、名前を検索された場合、会社の住所などもすべて出てきてしまうため、お会いするまではあまり教えたくありません。

しかしながら、私は恥ずかしいことをしている訳ではありませんし、このような出会いでは信頼関係も大切だと思い、そしてそこで断り、気まずくなりたくないので教えています。たぶんむこうは、検索していると思います。

このような場合、やはり教えた方がスマートですか？なにか会うまでにうまく切り抜ける方法はないでしょうか？
よろしくお願いします。