匿名希望さん  女性  42歳

わたしの場合、「お会いしましょう」という話になり、日時が決まった時点で、お互いのフルネームと携帯の電話番号を教え合っています。
わたしから「お会いしませんか？」と持ちかける場合もありますが、常に男性の方から名前と連絡先を教えてくださいます。（わたしが督促しなくても。）

女性が用心して「おつき合いするまでは、サイト内メッセージを連絡先とする」というのなら分かるのですが、男性が自分の連絡先を教えないというのは、それなりの理由・事情があるように思います。

「だまされているのではないか」と質問者様が思われるようなことがあったようですので、試しに一度、「連絡先教えてもらえませんか？」と聞いてみてはいかがですか？