匿名希望さん  女性  45歳

頭で考えても、相手と二人で話し合っても答えが出ないときは、とりあえず動いてみて、実験・検証してみるといいのではないでしょうか？

質問を読むと、彼からの打診や希望が特に記載されていないので、ひとまず、貴女ご自身の案を形にしてみることをおすすめします。半同棲生活を解消して週末にデートをする形でお付き合いをする、貴女が割り勘で支払う、ということを実際にやってみることですね。

割り勘については、彼が生活の心配よりも女性に支払わせるほうが心苦しいと思えば、あなたに支払ってもらうことをやめさせるでしょうし、本当は嫌だけど支払ってもらえると嬉しいと思えば、あなたが支払いを続けることになるでしょう。

彼が貴女のことを姫と呼ぶ理由については・・・彼に聞いてみましたか？

質問の内容からしか推測できませんが、彼との関係を築いていく中で、貴女がまだまだやっていないこと、やるべきことがたくさんあるような気がします。
貴女には別れるという選択肢がなさそうですし、関係を改善するにはこうしたらいいのではないかという考えも持っていらっしゃるので、今は、その考えを行動に移してみると、状況が変化すると同時に考え方や気持ちも変化して、関係改善の可能性が出てくるのではないかと思います。

どのようなカップルにも、結婚していても独身同士でも、大なり小なり問題はありますよね。なので、二人で一緒に楽しく過ごすためには、たゆまぬ努力が必要な気がします。
お付き合いを初めてまだ3カ月ですよね？年齢差や病気については、当人同士の努力だけでの解決は難しいですけど、まずは、できることからやってみてほしいなって思いました。