匿名希望さん  女性  35歳

人それぞれ意味は違うかと思います。

わたしもそれに近いような事を書いている者のひとりです。
(「淋しがりやで甘えたがり」みたいな、そんな直接的な表現はしていませんが。)
確かに抽象的な表現かもしれませんね。

わたしの場合は、具体的に言うと･･･

・可能な限りで構わないから、マメに交流して欲しい。
・お付き合いしたら、手をつなぐなど仲良く触れ合っていたい。
・許される限りは一緒に居て、いろんな物事を共有したい。

などの意味合いがあります。

ただ、開通後にメールでイキナリ「うんと甘えさせてね」という女性の心理は正直わたしにも理解しかねます。
ちょっと品がないような･･･
「マメにメールして欲しい」という意味なのでしょうか･･･？？

直接ご本人に伺ってみるのも、話題のキッカケになって良いかもしれませんね。